comment enlever un x2 dans une equation

Introduction

L’élimination d’un facteur de multiplication dans une équation, tel qu’un x², est une étape cruciale pour résoudre des problèmes mathématiques. Que ce soit dans des équations algébriques ou des équations de second degré, comprendre comment manipuler les équations est essentiel pour trouver des solutions. Cet article abordera les différentes méthodes pour enlever un x² d’une équation et donnera des exemples concrets pour illustrer chaque méthode.

Comprendre l’équation

Avant de procéder à l’élimination d’un x², il est important de comprendre la forme de l’équation. Une équation quadratique générale s’écrit sous la forme :

ax² + bx + c = 0

Dans cette équation, a, b et c sont des coefficients constants. Le but de la manipulation est de simplifier l’équation ou de trouver des solutions pour x. En fonction de la situation, il existe plusieurs méthodes pour procéder.

1. Factorisation de l’équation

La factorisation est l’une des méthodes les plus courantes pour éliminer un x². Pour factoriser, vous devez trouver deux nombres qui, multipliés ensemble, donnent le terme constant (c) et, additionnés, donnent le coefficient de x (b). Voici les étapes :

• Identifiez les coefficients : Par exemple, dans l’équation 2x² + 8x + 6 = 0, a = 2, b = 8 et c = 6.
• Divisez par le coefficient principal : Si a ≠ 1, commencez par diviser toute l’équation par a. Ici, divisez par 2 pour obtenir x² + 4x + 3 = 0.
• Trouvez les facteurs : Cherchez des facteurs de 3 qui s’additionnent à 4, soit 3 et 1. L’équation se factorise donc en (x + 3)(x + 1) = 0.

Pour résoudre cette équation, il suffit de poser chaque facteur à zéro :

• x + 3 = 0 → x = -3
• x + 1 = 0 → x = -1

2. Utiliser la méthode de complétion du carré

Une autre méthode efficace pour enlever un x² est la complétion du carré. Cette méthode transforme l’équation en une forme parfaite pour faciliter la résolution. Voici les étapes à suivre :

• Commencez avec l’équation : Prenons l’exemple 2x² + 8x = 6.
• Divisez par a : Comme précédemment, divisez toute l’équation par 2, obtenant x² + 4x = 3.
• Complétez le carré : Ajoutez et soustrayez (4/2)² = 4 pour obtenir x² + 4x + 4 – 4 = 3. Cela se réécrit comme (x + 2)² – 4 = 3.
• Réorganisez l’équation : Cela devient (x + 2)² = 7.
• Prenez la racine carrée : En prenant la racine carrée des deux côtés, vous obtenez x + 2 = ±√7.
• Isoler x : Finalement, x = -2 ± √7, offrant deux solutions.

3. Utilisation de la formule quadratique

La formule quadratique est une méthode universelle qui peut être utilisée pour toutes les équations quadratiques. La formule est :

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

Pour notre équation initiale 2x² + 8x + 6 = 0 :

• Identifiez a, b et c : Ici, a = 2, b = 8, c = 6.
• Calculez le discriminant : b² – 4ac = 8² – 4(2)(6) = 64 – 48 = 16.
• Appliquez la formule : En utilisant la formule, x = (-8 ± √16) / (2*2) = (-8 ± 4) / 4.
• Résolvez pour x : Cela donne x = -1 ou x = -3.

Conclusion

L’élimination d’un x² dans une équation peut être réalisée à l’aide de plusieurs méthodes, y compris la factorisation, la complétion du carré et la formule quadratique. Chacune de ces méthodes a ses avantages et peut être utilisée en fonction de la situation. Il est important de bien comprendre chaque étape pour s’assurer de trouver les bonnes solutions. Avec la pratique, ces techniques deviendront naturelles et vous permettront de résoudre efficacement des équations quadratiques.

CATEGORIE:[Mathématiques]